05.06.2026

Тема «арифметическая прогрессия» входит в обязательную школьную программу и регулярно встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике. Без понимания этой темы сложно перейти к более продвинутым разделам — теории рядов, финансовой математике и комбинаторике. Разберём всё по порядку: от определения до формул и задач с разбором.

Прежде чем давать определение, уточним более широкое понятие. Числовой последовательностью называют набор чисел, расположенных в определённом порядке, где каждое число имеет свой номер: первое, второе, третье и далее. Отдельные члены принято обозначать буквой a с нижним индексом: a₁, a₂, a₃ и т. д.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Эту постоянную называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.

Формула связи двух соседних членов:

d = aₙ₊₁ − aₙ

При этом d может быть любым числом: целым, дробным, положительным или отрицательным.

По знаку разности выделяют три вида прогрессии:

• Возрастающая: последовательность, где при d>0 каждый новый член больше предыдущего. Пример — количество страниц, прочитанных школьником каждую неделю: 10, 17, 24, 31 (d = 7).

• Убывающая: последовательность, в которой при отрицательной разности каждый следующий член уменьшается. Пример — температура воздуха по прогнозу на неделю: 15, 11, 7, 3 (d = −4).

• Стационарная: d = 0, все члены равны между собой. Пример — одинаковая ежедневная норма шагов: 8 000, 8 000, 8 000 (d = 0).

Ключевое свойство арифметической прогрессии помогает как проверить последовательность, так и восстановить пропущенный член. Звучит оно так: каждый член прогрессии, кроме первого и последнего, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Запись в виде формулы:

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2

Как применять это свойство на практике:

• Проверка: подставьте три соседних члена и убедитесь, что средний равен их среднему арифметическому.
• Поиск пропуска: если известны два соседних члена, средний находится по той же формуле.

Пример. Последовательность: 5, 14, 23, 32. Проверим третий член (23):

(14 + 32) / 2 = 46 / 2 = 23 ✓

Условие выполнено — перед нами арифметическая прогрессия с d = 9.

Ещё один сценарий применения — восстановить пропуск. Допустим, дана последовательность 6, ?, 18. Находим пропущенный член:

(6 + 18) / 2 = 24 / 2 = 12

Ответ: пропущенный член равен 12, прогрессия выглядит как 6, 12, 18 (d = 6).

Все вычисления с арифметической прогрессией сводятся к трём основным формулам. Их важно не просто выучить, но и понимать, при каких условиях применяется каждая.

Эта формула позволяет вычислить любой член прогрессии, не перебирая всю последовательность подряд. Достаточно знать первый член a₁ и разность d.

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Обозначения:

• a₁ — первый член прогрессии;
• d — разность (постоянная добавка);
• n — номер нужного члена;
• aₙ — значение этого члена.

Пример. Студент-репетитор берёт 800 рублей в час за первое занятие и каждый месяц повышает ставку на 150 рублей. Какой будет его ставка через 6 месяцев (7-е значение ставки)?

a₇ = 800 + (7 − 1) · 150 = 800 + 900 = 1 700 рублей

Ответ: 1 700 рублей в час.

Если известны любые два члена прогрессии и их номера, разность d вычисляется следующим образом:

d = (aₙ − aₘ) / (n − m)

Частный случай для двух соседних членов:

d = aₙ₊₁ − aₙ

Пример. Известно, что четвёртый член прогрессии равен 19, а девятый — 44. Найдём разность:

d = (44 − 19) / (9 − 4) = 25 / 5 = 5

Ответ: d = 5. Дополнительно можно восстановить первый член: a₁ = 19 − 3 · 5 = 4.

В зависимости от того, какие данные известны, используют одну из двух формул суммы.

Если известны первый и последний члены и количество членов:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Если известны первый член, разность и количество членов:

Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) · n / 2

Пример 1. В спортивной секции за первую неделю ребёнок отжался 15 раз, за последнюю, 8-ю неделю — 50 раз. Нагрузка росла равномерно. Сколько раз суммарно он отжался за восемь недель?

S₈ = (15 + 50) · 8 / 2 = 65 · 4 = 260

Ответ: 260 раз за весь период.

Пример 2. Дано: a₁ = 3, d = 5, n = 9. Найдём сумму:

S₉ = (2 · 3 + (9 − 1) · 5) · 9 / 2 = (6 + 40) · 9 / 2 = 46 · 4,5 = 207

Ответ: S₉ = 207.

Задачи на арифметическую прогрессию в ОГЭ и ЕГЭ делятся на три основных типа: найти n-й член, найти разность и найти сумму. Ниже — по одному разобранному решению для каждого типа.

Задача 1. Найти n-й член
Условие: a₁ = 11, d = −3. Найдите 10-й член прогрессии.
Решение:
a₁₀ = 11 + (10 − 1) · (−3) = 11 − 27 = −16
Ответ: a₁₀ = −16. Прогрессия убывающая, поскольку d < 0.

Задача 2. Найти разность и первый член
Условие: a₄ = 13, a₈ = 29. Найдите разность и a₁.
Решение:
d = (29 − 13) / (8 − 4) = 16 / 4 = 4
a₁ = a₄ − 3d = 13 − 12 = 1
Ответ: d = 4, a₁ = 1.

Задача 3. Найти сумму (прикладная задача)
Условие: за первый месяц ученик выучил 12 новых английских слов. Каждый следующий месяц он учит на 8 слов больше. Сколько слов он выучит суммарно за полгода?
Решение:
a₁ = 12, d = 8, n = 6.
S₆ = (2 · 12 + (6 − 1) · 8) · 6 / 2 = (24 + 40) · 3 = 64 · 3 = 192
Ответ: за шесть месяцев школьник выучит 192 слова.

Изучив арифметическую прогрессию, стоит обратить внимание на геометрическую прогрессию — последовательность, в которой каждый член получают не прибавлением постоянной разности, а умножением на постоянный знаменатель q. Например, последовательность 2, 10, 50, 250 — геометрическая с q = 5. Оба типа прогрессий входят в программу 9 класса и регулярно встречаются на итоговой аттестации, поэтому изучать их лучше в паре.