24.09.2026

В девятом классе по алгебре появляются новые темы — квадратичная функция, прогрессии, элементы теории вероятностей, а уравнения и неравенства, изученные ранее, решают уже более сложными методами. Эти разделы пригодятся не только на уроках: задания по ним регулярно встречаются в вариантах ОГЭ по математике, который девятиклассники сдают в конце года. Ниже — какие темы изучают в 9 классе по алгебре и как устроена школьная программа этого года.

Первая крупная тема года — функция вида y = ax² + bx + c и её свойства. Девятиклассники учатся строить график такой функции, определять его вершину, направление ветвей и промежутки возрастания и убывания.

На уроках разбирают:

• свойства квадратичной функции и построение её графика по алгоритму;
• преобразования графика при изменении коэффициентов a, b и c;
• нахождение нулей функции и промежутков знакопостоянства;
• функцию y = xⁿ и корень n-й степени как расширение материала о степенях.

Например, для функции y = x² − 4x + 3 вершина параболы находится в точке (2, −1), а нули функции — точки 1 и 3. Умение быстро определять эти характеристики по формуле, не строя график с нуля, — один из ключевых навыков темы.

Отдельное внимание уделяется тому, как меняется график при сдвиге параболы вдоль осей и при изменении знака старшего коэффициента: если a больше нуля, ветви параболы направлены вверх, если меньше — вниз. Разница между графиками y = x², y = (x − 2)² и y = x² + 3 наглядно показывает, за что отвечает каждый параметр в формуле, и на контрольных работах такие задания встречаются регулярно.

Тема развивает работу с квадратными уравнениями из 8 класса и добавляет более сложные конструкции — уравнения и неравенства высших степеней, которые решают методом разложения на множители или заменой переменной.

Ключевые элементы темы:

1. Целые уравнения, сводящиеся к квадратным через замену переменной.
2. Дробно-рациональные уравнения с проверкой области допустимых значений.
3. Метод интервалов для решения неравенств второй степени и выше.
4. Системы уравнений и неравенств с одной переменной.

Например, уравнение (x + 1)/(x − 3) = 2 решают, умножая обе части на (x − 3): получается x + 1 = 2(x − 3), откуда x = 7. Проверка показывает, что x = 7 не обращает знаменатель в ноль, значит, корень подходит — этот шаг проверки области допустимых значений нельзя пропускать, даже если вычисления кажутся однозначными.

Метод интервалов — это, пожалуй, самая полезная техника года: она позволяет решать неравенства любой степени, если удаётся разложить многочлен на множители и определить знаки на каждом промежутке. Например, чтобы решить неравенство (x − 2)(x + 5) > 0, отмечают на числовой прямой точки −5 и 2, определяют знак произведения на каждом из трёх промежутков и выбирают те, где выражение положительно — в этом случае решением будут промежутки x < −5 и x > 2.

Раздел посвящён совместному решению нескольких уравнений с двумя неизвестными — как линейных, так и содержащих квадратичные зависимости.

В программе разбирают:

• графический способ решения систем — через точки пересечения графиков;
• способ подстановки и способ сложения для линейных систем;
• системы, где одно уравнение линейное, а другое — второй степени;
• текстовые задачи, которые сводятся к составлению системы уравнений.

Например, задача про два числа, сумма которых равна 15, а произведение — 56, сводится к системе x + y = 15 и xy = 56. Решая её через подстановку, получаем числа 7 и 8.

Графический способ решения при этом остаётся полезным инструментом для понимания сути задачи: если одно уравнение системы — прямая, а второе — парабола или окружность, число решений системы равно числу точек их пересечения. Это помогает быстро оценить, сколько ответов стоит ожидать, ещё до начала вычислений.

Прогрессии — новый тип числовых последовательностей, с которым девятиклассники встречаются впервые. Тема учит видеть закономерность в ряде чисел и работать с формулами общего члена и суммы.

На уроках изучают:

• определение арифметической прогрессии и формулу её n-го члена;
• формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
• определение геометрической прогрессии и формулу её n-го члена;
• формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, включая случай бесконечно убывающей прогрессии.

Например, в арифметической прогрессии 3, 7, 11, 15… разность равна 4, а сумма первых десяти членов вычисляется по формуле суммы через первый член и разность, без необходимости складывать все числа по очереди.

Геометрическая прогрессия устроена иначе: каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число — знаменатель прогрессии. Например, в прогрессии 2, 6, 18, 54… знаменатель равен 3. Отдельный практический случай — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше единицы: сумма всех её членов, несмотря на бесконечное количество слагаемых, оказывается конечным числом.

Этот раздел появляется в программе 9 класса относительно недавно и знакомит школьников с базовыми понятиями случайных событий — материалом, который затем используется в заданиях ОГЭ по математике.

В теме рассматривают:

• понятие случайного события, его вероятности и классическое определение вероятности;
• относительную частоту события и связь между частотой и вероятностью;
• элементы комбинаторики — правило умножения, перестановки и сочетания в базовом объёме;
• решение простых задач на нахождение вероятности события.

Например, при броске игрального кубика вероятность выпадения чётного числа равна 3/6, то есть 0,5 — благоприятных исходов (2, 4, 6) три из шести возможных. Похожая логика лежит в основе большинства задач раздела: посчитать общее число исходов и число благоприятных, а затем найти их отношение.

Девятый класс завершается ОГЭ по математике, поэтому важно распределить подготовку заранее, а не откладывать её на весну.

• Повторить базу 7−8 класса: формулы сокращённого умножения, квадратные уравнения и работу с дробями — без них сложно разобраться в квадратичной функции и системах уравнений. Пробелы в этих темах обычно всплывают именно в 9 классе, когда материал усложняется, а времени на повторение остаётся меньше.

• Регулярно тренироваться в построении графиков функций вручную — это помогает быстрее ориентироваться в заданиях, где требуется анализ графика, а не только его построение.

• Решать задачи на прогрессии и вероятность отдельным блоком: эти темы редко пересекаются с остальной алгеброй, поэтому легко забываются, если их не повторять регулярно в течение года.

• Ориентироваться на демонстрационные варианты ОГЭ текущего года, которые публикует Федеральный институт педагогических измерений, — они показывают актуальный формат заданий и позволяют оценить реальный уровень подготовки задолго до самого экзамена.

• Разбирать ошибки в контрольных работах сразу после их получения, а не откладывать работу над ошибками на потом — так проще понять, какая именно тема требует дополнительной практики.