26.05.2026

Линейная функция — одна из первых тем алгебры, где абстрактная формула превращается в наглядную картинку на плоскости. Разобраться с ней — значит заложить фундамент для понимания квадратных функций, тригонометрии и многого другого. В этой статье разберём всё по порядку: от определения до разбора задачи.

Линейная функция — это зависимость вида y = kx + b, где x — независимая переменная (аргумент), а y — значение функции. Коэффициенты k и b — действительные числа, причём k не равно нулю (иначе зависимость от x пропадёт и прямая превратится в горизонтальную линию).

Название «линейная» не случайно: график такой функции всегда является прямой линией. Именно это свойство делает её удобным инструментом для описания равномерных процессов — будь то движение с постоянной скоростью или рост показателей с одинаковым шагом.

Чтобы понять смысл формулы, разберём каждое обозначение:

• x — независимая величина: её значение выбирается произвольно;
• y — зависимая величина, которая определяется по формуле для каждого выбранного x;
• k — угловой коэффициент, отвечает за наклон прямой;
• b — свободный коэффициент, указывающий точку пересечения графика с осью y.

Когда b = 0, уравнение записывается как y = kx. В этом случае речь идёт о прямой пропорциональности: график такой функции всегда проходит через начало координат — точку (0; 0).

Положение прямой на координатной плоскости целиком определяется двумя числами — k и b. Понять их смысл проще всего на конкретных примерах.

Угловой коэффициент k задаёт угол, под которым прямая пересекает горизонтальную ось. От его знака и величины зависит, куда «смотрит» прямая:

• k > 0 — прямая идёт снизу левого края вверх вправо, функция возрастает. Чем больше k, тем круче подъём. Например, при k = 3 прямая поднимается намного резче, чем при k = 0,5.
• k < 0 — прямая идёт сверху левого края вниз вправо, функция убывает. При k = −4 спуск окажется гораздо круче, чем при k = −0,2.
• k = 0 — прямая параллельна оси абсцисс (горизонтальна). Это уже не линейная функция в строгом смысле, а постоянная.

Геометрически k — это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси OX, отсчитываемого против часовой стрелки. Именно поэтому коэффициент называют угловым.

Свободный член b определяет, на каком уровне прямая пересечёт ось ординат (OY). Иными словами, при x = 0 функция даёт y = b — это координата точки, где прямая «выходит» на вертикальную ось:

• b > 0 — точка пересечения с осью OY лежит выше начала координат. Прямая y = 2x + 5 пересечёт ось в точке (0; 5).
• b < 0 — точка пересечения ниже начала координат. Прямая y = 2x − 3 пересечёт ось в точке (0; −3).
• b = 0 — прямая проходит через начало координат.

Важно понимать: при одинаковом k, но разных b прямые окажутся параллельными — они никогда не пересекутся, потому что имеют одинаковый наклон, но разную «высоту».

График линейной функции — прямая. Чтобы провести прямую, достаточно двух точек. Значит, весь алгоритм построения сводится к четырём шагам.

1. Выбрать два произвольных значения x. Удобнее брать небольшие числа, например 0 и 3 — с ними легко считать.
2. Вычислить y для каждого x, подставив значение в уравнение функции.
3. Занести результаты в таблицу и отметить обе точки на координатной плоскости.
4. Провести прямую через отмеченные точки и продолжить её в обе стороны.

Разберём на примере: построим график линейной функции y = 3x − 2.

Выберем x = 0 и x = 2:

• При x = 0: y = 3 · 0 − 2 = −2. Точка, А (0; −2).
• При x = 2: y = 3 · 2 − 2 = 4. Точка Б (2; 4).

Оформим в виде таблицы:

Откладываем точки, А и Б на координатной плоскости, соединяем их и продолжаем прямую. Готово — график линейной функции построен. Можно проверить себя, взяв третью точку, например x = 1: y = 3 · 1 − 2 = 1. Если точка (1; 1) лежит на прямой — всё верно.

Знать основные свойства линейной функции необходимо для уверенного решения задач. 

Область определения — все действительные числа: x может принимать любое значение. Область значений — тоже все действительные числа: при k ≠ 0 функция пробегает все возможные y.

Функция монотонно возрастает на всей области определения, если k > 0. Если k < 0 — монотонно убывает. Промежутков убывания или возрастания нет: прямая ведёт себя одинаково на всей числовой прямой.

Это один из самых востребованных навыков в задачах.

• С осью OX (горизонтальной): приравниваем y = 0 и решаем уравнение kx + b = 0. Получаем x = −b/k. Точка пересечения: (−b/k; 0). Это нуль функции.
• С осью OY (вертикальной): подставляем x = 0, получаем y = b. Точка пересечения с осью ординат: (0; b).

Например, для функции y = 4x − 8: нуль функции — x = 8/4 = 2, то есть прямая пересекает ось абсцисс в точке (2; 0); с осью OY прямая пересекается в точке (0; −8).

Две линейные функции параллельны, если их угловые коэффициенты равны (k₁ = k₂), но свободные члены различны (b₁ ≠ b₂). Если k₁ = k₂ и b₁ = b₂ — это одна и та же прямая. Если угловые коэффициенты не равны, прямые обязательно пересекутся ровно в одной точке.

Поскольку прямая уходит в обе стороны бесконечно, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Разберём типовую задачу, которая встречается на контрольных работах в школе.

Задача. Дана линейная функция y = −2x + 6. Постройте её график и найдите: а) нуль функции; б) значение y при x = −1; в) при каком x функция принимает значение 10.

Решение.
Шаг 1. Строим график. Выбираем два значения x:

• x = 0: y = −2 · 0 + 6 = 6. Точка А (0; 6).
• x = 3: y = −2 · 3 + 6 = 0. Точка Б (3; 0).

Отмечаем точки на плоскости, соединяем прямой. Угловой коэффициент k = −2 < 0, значит прямая убывает — идёт сверху левого угла вниз вправо.

Шаг 2. Нуль функции. Приравниваем y к нулю: −2x + 6 = 0, откуда x = 3. График линейной функции пересекает ось абсцисс в точке (3; 0).
Шаг 3. Значение y при x = −1. Подставляем: y = −2 · (−1) + 6 = 2 + 6 = 8. При x = −1 функция принимает значение 8.
Шаг 4. Находим x, при котором y = 10. Решаем уравнение функции: −2x + 6 = 10. Отсюда −2x = 4, x = −2. При x = −2 функция принимает значение 10.

Ответ: нуль функции — x = 3; при x = −1 значение y равно 8; при y = 10 получаем x = −2.