30.04.2026

Прежде чем разбирать правила умножения и деления, важно вспомнить базу. Степень числа — это краткая запись произведения одного и того же числа на само себя несколько раз.

Запись aⁿ означает, что основание a перемножается ровно n раз. Число n называется показателем степени.

Например:

• 5³ = 5 · 5 · 5 = 125   [основание — 5, показатель — 3]
• 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81   [основание — 3, показатель — 4]

Здесь важно понять логику: показатель говорит о количестве множителей, а не о том, сколько раз выполняется операция. Это базовое различие помогает школьникам избежать самой распространённой ошибки — путаницы между умножением числа на показатель и возведением в степень.

В математике действуют чёткие свойства для работы со степенями. Рассмотрим два основных случая, которые встречаются в задачах чаще всего.

Когда перемножаются степени с одним и тем же основанием, основание остаётся прежним, а показатели складываются:

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

Примеры:

• 7² · 7³ = 7⁵ = 16 807 [2 + 3 = 5]
•  4¹ · 4⁶ = 4⁷ = 16 384 [1 + 6 = 7]

Почему это работает? Вернёмся к определению. 7² — это 7 · 7, а 7³ — это 7 · 7 · 7. Перемножив их, получим семь двоек подряд, то есть 7⁵. Никакой магии — только логика записи.

Если у степеней одинаковый показатель, основания перемножаются, а показатель сохраняется:

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

Примеры:

• 6³ · 2³ = (6 · 2)³ = 12³ = 1 728 [основания разные, показатель один]
• 5² · 3² = (5 · 3)² = 15² = 225 [то же правило]

Это свойство позволяет упрощать выражения ещё до вычисления — что особенно ценно в контрольных работах, где важна скорость.

Ситуация с делением зеркальна умножению: здесь также два случая в зависимости от того, совпадают ли основания или показатели.

При делении степеней с одинаковым основанием основание не меняется, а показатель делителя вычитается из показателя делимого:

aᵐ: aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Примеры:

•  9⁷: 9³ = 9⁴ = 6 561 [7 − 3 = 4]
•  2¹⁰: 2⁴ = 2⁶ = 64 [10 − 4 = 6]

Важно помнить об условии m > n: показатель делимого должен быть строго больше показателя делителя. Если это условие нарушено, результат выйдет за рамки темы натуральных степеней и потребует знания отрицательных показателей — это уже следующий уровень.

Когда степени имеют одинаковый показатель, можно разделить основания, а показатель оставить:

aⁿ: bⁿ = (a: b)ⁿ

Примеры:

• 18³: 6³ = (18: 6)³ = 3³ = 27 [одинаковые показатели]
• 50²: 5² = (50: 5)² = 10² = 100 [то же правило]

Отдельный случай — когда нужно возвести степень в степень. Это выражение вида (aⁿ)ᵐ встречается в задачах 8−9 класса при упрощении алгебраических записей.
Правило простое: основание не изменяется, а показатели перемножаются:

(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ

Примеры:

• (3²)⁴ = 3⁸ = 6 561 [2 · 4 = 8]
• (5³)² = 5⁶ = 15 625 [3 · 2 = 6]

Именно для этого правила школьники чаще всего смешивают сложение и умножение показателей. Запомните: при умножении степеней показатели складываются, а при возведении степени в степень — умножаются. Это принципиальное различие.

Разберём несколько задач с нарастающей сложностью — чтобы закрепить все свойства разом.

Задача 1.

Упростите: 6³ · 6⁵

Решение: основания одинаковые, показатели складываем: 6³ · 6⁵ = 6⁸ = 1 679 616

Задача 2.

Вычислите: 8⁶: 8²

Решение: основания одинаковые, вычитаем показатели: 8⁶: 8² = 8⁴ = 4 096

Задача 3.

Упростите: (2⁴)³

Решение: возводим степень в степень, показатели перемножаем: (2⁴)³ = 2¹² = 4 096

Задача 4.

Вычислите: 9² · 4²

Решение: показатели одинаковые, перемножаем основания: 9² · 4² = (9 · 4)² = 36² = 1 296

Задача 5.

Упростите: 2³ · 2⁴: 2⁵

Решение: сначала умножение: 2³ · 2⁴ = 2⁷. Затем деление: 2⁷: 2⁵ = 2² = 4

Последовательность действий здесь принципиальна: если в одном выражении сочетаются умножение и деление степеней с одинаковым основанием, выполняйте операции слева направо, применяя формулу на каждом шаге.