09.04.2026

Тригонометрия — один из ключевых разделов школьной математики, который встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Четыре функции — синус, косинус, тангенс и котангенс — составляют её основу. Разобравшись с ними один раз, школьник получает инструмент, который работает во всех последующих темах: уравнениях, формулах приведения, геометрических задачах.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — это тригонометрические функции, которые выражают отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Чтобы разобраться в их значении, важно понимать структуру такого треугольника: он состоит из двух катетов и гипотенузы — стороны, лежащей напротив прямого угла и являющейся самой длинной.

Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = противолежащий катет / гипотенуза

Чем больше угол (в пределах от 0° до 90°), тем больше значение синуса. При 0° синус равен нулю, при 90° — единице.

Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = прилежащий катет / гипотенуза

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg α = противолежащий катет / прилежащий катет

Тангенс не определён при угле 90°: в этом случае прилежащий катет стремится к нулю, а деление на ноль в математике не определено.

Котангенс — функция, обратная тангенсу. Это отношение прилежащего катета к противолежащему.

ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет

Котангенс не определён при угле 0°, поскольку в этом случае равен нулю противолежащий катет.

Знание определений — только начало. Для решения задач потребуются формулы, связывающие функции между собой.

Это фундаментальное соотношение выводится из теоремы Пифагора. Оно звучит так:

sin²α + cos²α = 1

Данное тригонометрическое тождество справедливо для любого угла α. Если известен синус, из него легко получить косинус, и наоборот.

Тангенс выражается через синус и косинус:

tg α = sin α / cos α

Котангенс — обратным образом:

ctg α = cos α / sin α

Из этих соотношений следует, что:

tg α · ctg α = 1

Значения тригонометрических функций для стандартных углов необходимо знать наизусть — они встречаются практически в каждом задании по тригонометрии.

В старших классах и на ЕГЭ углы часто записывают в радианах. Формула перевода:

радианы = градусы × π / 180°

Примеры: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π.

Понимание свойств помогает не только решать задачи, но и быстро проверять правильность вычислений.

Каждая функция имеет ограничения на допустимые значения аргумента:

• sin α и cos α определены для любого угла α ∈ ℝ;
• tg α не определён при α = 90° + 180° × n (n — целое число), то есть когда cos α = 0;
• ctg α не определён при α = 180° × n, то есть когда sin α = 0.

Функции принимают разные диапазоны значений:

• sin α и cos α принимают значения строго от −1 до 1 включительно;
• tg α и ctg α могут принимать любые действительные значения от −∞ до +∞.

Все тригонометрические функции периодичны — их значения повторяются через равные промежутки:

• sin α и cos α имеют период 2π (360°);
• tg α и ctg α имеют период π (180°).

Это означает, например, что sin 30° = sin 390° = sin 750° и т.д.

Свойство важно при упрощении выражений с отрицательными углами:

• cos α — чётная функция: cos(−α) = cos α;
• sin α, tg α, ctg α — нечётные функции: sin(−α) = −sin α, tg(−α) = −tg α, ctg(−α) = −ctg α.

Тригонометрия — это не просто раздел школьной математики, а универсальный инструмент для описания волн, колебательных процессов и углов в физике и инженерных науках. Чтобы успешно справляться с заданиями на экзамене, необходимо:

1. Чётко понимать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса через стороны прямоугольного треугольника.
2. Запомнить значения этих функций для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
3. Разобраться в основном тригонометрическом тождестве sin² + cos² = 1 и уметь применять его на практике.
4. Знать, как выражаются тангенс и котангенс через синус и косинус.
5. Ориентироваться в свойствах функций: их значениях, периодичности и чётности.

Эти знания являются базой, без которой невозможно перейти к более сложным темам — решению тригонометрических уравнений, формулам приведения и задачам на вычисление сторон и углов треугольников.