17.04.2026

Теорема Виета — важный инструмент в школьной алгебре, который значительно упрощает нахождение корней квадратного уравнения. В отличие от традиционного метода с использованием дискриминанта, этот подход позволяет решать задачи быстрее.

Тема входит в программу 8 класса и регулярно встречается на ОГЭ. Разберём всё по порядку: от базовых понятий до разбора конкретных задач.

Прежде чем перейти к теореме, важно разобраться с несколькими терминами. Без них дальнейшее объяснение будет неполным.

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

Квадратное уравнение может иметь два разных корня, один корень или не иметь решений вообще — это зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант рассчитывается по следующей формуле:

Приведённое квадратное уравнение — это особый случай, когда коэффициент при x² равен 1. Теорема Виета в своей классической форме используется именно для уравнений такого вида:

x² + bx + c = 0

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Для приведённого уравнения x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ — корни, справедливы два равенства:

Иными словами:

• сумма корней равна второму коэффициенту, но с противоположным знаком;
• произведение корней соответствует свободному члену уравнения.

Важно: теорема работает только тогда, когда уравнение является приведённым (то есть первый коэффициент равен 1) и имеет два корня (дискриминант D > 0 или D = 0).

Понимать доказательство теоремы не обязательно для решения задач, но оно помогает убедиться, что формула — не просто правило из учебника, а логически обоснованное утверждение. 

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x² + bx + c = 0, и его дискриминант D > 0.

Корни уравнения находятся по формулам:

x₁ = (−b + √D) / 2,   x₂ = (−b − √D) / 2

Сложим x₁ и x₂:

x₁ + x₂ = (−b + √D) / 2 + (−b − √D) / 2

1. Числители складываются: (−b + √D) + (−b − √D) = −2b.
2. Делим −2b на 2: получаем −b.

Итог: x₁ + x₂ = −b ✓

Перемножим x₁ и x₂:

x₁ · x₂ = [(−b + √D) / 2] · [(−b − √D) / 2]

1. Числители перемножаются по формуле разности квадратов: (−b)² − (√D)² = b² − D.
2. Подставим D = b² − 4c: b² − (b² − 4c) = 4c.
3. Делим 4c на 4: получаем c.

Итог: x₁ · x₂ = c ✓

Теорема доказана.

Обратная теорема Виета — это утверждение, которое работает в обратном направлении. Если даны два числа, сумма которых равна −b, а произведение равно c, то эти числа являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Пусть числа x₁ и x₂ удовлетворяют условиям:

• x₁ + x₂ = −b
• x₁ · x₂ = c

Составим уравнение с этими корнями:

(x − x₁)(x − x₂) = 0

Раскроем скобки:

x² − (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ = 0

Подставим условия:

x² − (−b)·x + c = 0  →  x² + bx + c = 0

Получили исходное уравнение. Значит, x₁ и x₂ действительно являются его корнями.

Дано: x² − 5x + 6 = 0

По теореме Виета:

• x₁ + x₂ = 5
• x₁ · x₂ = 6

Подбираем два числа: их сумма равна 5, а произведение равно 6.

Это числа 2 и 3, поскольку: 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3

Рассмотрим несколько задач — от простой к более сложной. Именно такие задачи встречаются в учебниках и на контрольных работах. Понять, как решать по теореме Виета, проще всего на конкретных числах.

Дано: x² + 4x - 21 = 0

Коэффициенты: b = 4, c = -21.

По теореме Виета:

• x₁ + x₂ = -4
• x₁ · x₂ = -21

Подбираем числа с суммой -4 и произведением -21. Это числа -7 и 3.

Ответ: x₁ = -7, x₂ = 3

Дано: x² + 10x + 21 = 0

Коэффициенты: b =10, c = 21.

По теореме Виета:

• x₁ + x₂ = −10
• x₁ · x₂ = 21

Оба числа должны быть отрицательными (произведение положительное, сумма отрицательная). Подходят −3 и −7.

Ответ: x₁ = −3, x₂ = −7

Дано: x² + 5x − 14 = 0

Коэффициенты: b = 5, c = −14.

По теореме Виета:

• x₁ + x₂ = -5
• x₁ · x₂ = −14

Произведение отрицательное — значит числа разных знаков. Перебираем пары: 2 и −7 → сумма -5 ✓, произведение −14 ✓.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = −7

Теорема Виета в своей классической форме применяется исключительно к приведённым уравнениям, где коэффициент при x² равен 1. Если этот коэффициент отличается от единицы, уравнение следует преобразовать в стандартный вид.

Для этого достаточно разделить обе части на коэффициент a.

Пример:

Дано: 4x² − 8x + 4 = 0

1. Делим всё на 4: x² − 2x + 1 = 0.
2. По теореме Виета: x₁ + x₂ = 2, x₁ · x₂ = 1.
3. Подбираем: 1 и 1 → сумма 2 ✓, произведение 1 ✓.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 1

Теорема Виета — это не просто формула из учебника по математике. Это удобный инструмент, который экономит время на экзаменах и контрольных работах. Главное — понять принцип: сумма и произведение корней жёстко связаны с коэффициентами уравнения, и этой связью можно пользоваться в обе стороны. Регулярная практика на задачах позволит довести применение теоремы до автоматизма.