30.04.2026

Задачи на вероятность регулярно встречаются на ОГЭ и ЕГЭ — и нередко вызывают затруднение даже у тех, кто в целом неплохо знает математику. Причина обычно не в сложности самих вычислений, а в том, что ребёнок не понимает логику раздела. В этой статье мы разберём теорию вероятностей с нуля: что это такое, какие формулы нужно знать и как применять их на практике.

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Главный вопрос, на который она отвечает: насколько вероятно то или иное событие?

Например, вы бросаете игральный кубик. Каждая из шести граней может выпасть с равной степенью возможности. Теория вероятностей позволяет точно подсчитать, с какой долей вероятности выпадет, скажем, четвёрка. Именно за счёт этого раздела математики работают страховые расчёты, медицинские прогнозы и многое другое.

Важно сразу понять: вероятность — это число от 0 до 1 (или от 0% до 100%). Вероятность, равная 0, означает, что событие невозможно. Вероятность, равная 1 — что оно произойдёт точно.

Прежде чем переходить к формулам, нужно разобраться с ключевыми терминами. Без них любой расчёт вероятностей превращается в набор непонятных символов.

Случайное событие — исход эксперимента, который может как наступить, так и не наступить. Подбросили монету — орёл или решка. Это два возможных случайных события.

Достоверное событие происходит всегда — например, при броске кубика выпадет число от одного до шести. Невозможное событие не случится никогда — например, при броске того же кубика выпадет число семь.

Это полный набор всех возможных результатов опыта. При броске монеты пространство исходов — {орёл, решка}. При броске кубика — {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Это те результаты из пространства исходов, которые соответствуют интересующему нас событию. Если мы хотим, чтобы выпало чётное число на кубике, благоприятных исходов три: 2, 4 и 6.

Всё вышесказанное сводится к одной базовой формуле:

P (A) = m / n

где P (A) — вероятность события A, m — число благоприятных исходов, n — общее число равновозможных исходов.

Пример. В мешочке лежат пять красных и три синих шара — итого восемь. Какова вероятность вытащить синий шар? Благоприятных исходов три, всего исходов восемь. P (синий) = 3 / 8 = 0,375, или 37,5%.

Классическая формула P = m/n работает тогда, когда исходы равновозможны. Но реальные задачи часто требуют более гибкого инструментария. Разберём три ключевых закона.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Например, при броске кубика число не может быть одновременно чётным и нечётным. Для таких событий:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Пример. Из колоды в 36 карт тянут одну. Какова вероятность вытащить туза или шестёрку? Тузов четыре, шестёрок тоже четыре. P (туз) = 4/36, P (шестёрка) = 4/36. Так как события несовместны, P (туз или шестёрка) = 4/36 + 4/36 = 8/36 ≈ 0,222.

Два события независимы, если наступление одного не влияет на другое. Пример — два последовательных броска монеты. Произведение вероятностей даёт совместную вероятность:

P (A · B) = P (A) x P (B)

Пример. Ученик сдаёт два теста подряд. Вероятность сдать первый — 0,8, второй — 0,7. Предположим, результаты независимы. Тогда вероятность сдать оба: P = 0,8×0,7 = 0,56, то есть 56%.

Если событие A может либо произойти, либо не произойти, то событие «A не произошло» называется противоположным событием и обозначается Ā. Сумма их вероятностей всегда равна единице:

P (A) + P (Ā) = 1

Пример. Вероятность дождя завтра — 0,3. Тогда вероятность того, что дождя не будет: P (Ā) = 1 − 0,3 = 0,7.

Бывает так, что два события могут произойти одновременно — это совместимые события. Например, при броске кубика число может быть одновременно чётным и больше трёх (это 4 и 6). В таком случае простое сложение приводит к двойному учёту, поэтому используется другая формула:

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B)

Пример. Кубик брошен один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число или число больше трёх. Чётные — {2, 4, 6}: P (A) = 3/6. Больше трёх — {4, 5, 6}: P (B) = 3/6. Оба условия сразу — {4, 6}: P (A·B) = 2/6. Итого: P = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 ≈ 0,667.

Разберём несколько задач, которые типичны для школы и встречаются на контрольных работах и экзаменах. Каждое решение приведено пошагово.

Задача 1 (базовый уровень)

В классе 30 учеников: 12 занимаются в секции плавания, 9 — в секции шахмат, и 4 занимаются сразу обоими. Один ученик выбран случайно. Какова вероятность того, что он занимается хотя бы одним из этих занятий?

Решение.

1. Событие A — ученик занимается плаванием: P (A) = 12/30.
2. Событие B — ученик занимается шахматами: P (B) = 9/30.
3. Оба занятия сразу: P (A·B) = 4/30.
4. События совместимые, применяем полную формулу: P = 12/30 + 9/30 − 4/30 = 17/30 ≈ 0,567.

Ответ: вероятность составляет примерно 56,7%.

Задача 2 (средний уровень)

На складе хранится 20 деталей, из которых три бракованные. Наугад достают две детали подряд (без возврата). Какова вероятность того, что обе детали окажутся годными?

Решение.

1. При первом извлечении годных деталей 17 из 20: P (A) = 17/20.
2. После извлечения первой годной детали осталось 19 деталей, из которых 16 годных: P (B|A) = 16/19.
3. Применяем формулу умножения для зависимых событий: P = 17/20×16/19 = 272/380 ≈ 0,716.

Ответ: вероятность около 71,6%.

Задача 3 (повышенный уровень)

Стрелок производит два выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле — 0,6. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.

Решение.

Удобнее воспользоваться правилом противоположных событий. Противоположное «хотя бы одному попаданию» — «ни одного попадания».

1. Вероятность промаха при одном выстреле: 1 − 0,6 = 0,4.
2. Вероятность двух промахов подряд: P (Ā) = 0,4×0,4 = 0,16.
3. Искомая вероятность: P = 1 − 0,16 = 0,84.

Ответ: вероятность хотя бы одного попадания — 84%.

Теория вероятностей — не абстрактный раздел математики для олимпиадников. Её применяют повсюду, где нужно принять решение в условиях неопределённости.

• Медицина

Врачи и исследователи используют вероятностные модели, чтобы оценить эффективность лечения, риск побочных эффектов или распространение инфекции. Когда в инструкции к препарату пишут «нежелательная реакция наблюдается у 3 пациентов из 100», это и есть вероятность — 0,03.

• Страхование

Страховые компании рассчитывают стоимость полиса, опираясь на статистику: насколько вероятно наступление страхового случая, какой будет средний ущерб. Каждый страховой продукт — это прикладной расчёт вероятностей.

• Прогноз погоды

Метеорологи не говорят «завтра будет дождь" — они говорят «вероятность осадков 70%». Это прямое следствие статистических моделей, в основе которых лежит теория вероятностей.

• Информационные технологии

Спам-фильтры, рекомендательные системы, распознавание речи и изображений — всё это работает на вероятностных алгоритмах. Современный искусственный интеллект по сути и есть теория вероятностей, реализованная в коде.

Теория вероятностей строится на нескольких базовых идеях. Освоив их, можно уверенно решать задачи любой сложности.

1. Вероятность всегда от 0 до 1. Чем ближе к 1 — тем более вероятно событие.
2. Классическая формула: P = m/n. Применяется, когда все исходы равновозможны.
3. Для несовместных событий: сложение вероятностей.
4. Для независимых событий: произведение вероятностей.
5. Для совместимых событий: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A·B).
6. Правило противоположных событий часто упрощает решение: P (A) = 1 − P (Ā).

Отдельного внимания заслуживает подготовка к ОГЭ и ЕГЭ: задачи на вероятность присутствуют в обоих экзаменах. В ОГЭ это, как правило, одна задача базового уровня, в ЕГЭ — задачи могут быть сложнее и потребовать знания формулы полной вероятности или формулы Байеса. Освоение этой темы в школе — важный шаг к высокому результату.